Question

函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在区间[-1，1]上有最大值14，试求a的值．

Answer 1

解：令b=a^x则a^2x=b²
∴y=b²+2b-1=（b+1）²-2 对称轴b=-1
若0＜a＜1，则b=a^x是减函数，所以a^-1＞a
所以0＜a＜b＜
所以y的图象都在对称轴b=-1的右边，开口向上 并且递增
所以b=时有最大值
所以y=b²+2b-1=14∴b²+2b-15=0∴（b-3）（b+5）=0
b＞0，所以 b==3，a=符合0＜a＜1
若a＞1则b=a^x是增函数，此时0＜＜b＜a
y的图象仍在对称轴b=-1的右边，所以还是增函数
b=a时有最大值
所以y=b²+2b-1=14
b＞0，所以b=a=3，符合a＞1
所以a=或a=3
分析：令b=a^x构造二次函数y=b²+2b-1，然后根据a的不同范围（a＞0或0＜a＜1）确定b的范围后可解．
点评：本题主要考查指数函数单调性的问题．对于这种类型的题经常转化为二次函数，根据二次函数的图象和性质进行求解．