Question

如图，Rt△ABC的两条直角边长分别为a和b（a＞b），A与B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，求直角顶点C的轨迹方程．

Answer 1

思路分析：由已知∠ACB是直角，A和B两点在坐标轴上滑动时，∠AOB也是直角，由平面几何知识，A、C、B、O四点共圆，则有∠ABC=∠AOC，这就是点C满足的几何条件．

由此列出顶点C的坐标适合的方程．

解：设点C的坐标为（x,y），连结CO，

由∠ACB=∠AOB=90°，所以A、O、B、C四点共圆．

从而∠AOC=∠ABC．由tan∠ABC=，tan∠AOC=，有即y=x,

(注意到方程表示的是过原点、斜率为的一条直线，而题目中的A与B均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a、b为常数，故C点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A与B两点在坐标轴上的极端位置，确定C点坐标的范围)

如图，当点A与原点重合时，

S_△ABC=·x=·x，所以x=．

如图，当点B与原点重合时，C点的横坐标x=BD．

由射影定理，BC²=BD·AB,，即

a²=x·,

有x=．由已知a＞b，所以．

故C点的轨迹方程为y=(）．