Question

观察sin210°+cos240°+sin10°cos40°=

3

4

；sin26°+cos236°+sin6°cos36°=

3

4

．
（1）用类比的方法猜想一个一般性的结论；
（2）证明你的猜想．

Answer 1

（1）观察sin210°+cos240°+sin10°cos40°=

3

4

；  sin26°+cos236°+sin6°cos36°=

3

4

，
照此规律，可以得到的一般结果应该是：sin² x+cos²（30°+x）+sinx cos（30°+x）=

3

4

．
（2）证明：∵sin² x+cos²（30°+x）+sinx cos（30°+x）=sin² x+

1+cos(60°+2x)

2

+sinx（ cos30°cosx-sin30°sinx）
=sin² x+

1+ 1 2 cos2x- 3 2 sin2x

2

+

3 sin2x

4

-

1

2

sin² x=

1

2

sin² x+

1

2

+

1

4

cos2x-

3 sin2x

4

+

3 sin2x

4

 
=

1

2

×

1-cos2x

2

+

1

2

+

1

4

cos2x=

3

4

．