Question

如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG=GF．求证：
（1）D、E、C、F四点共圆；        
（2）GE⊥AB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，可得四点O，D，G，C共圆．设∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，可得∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．于是∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．利用切线长定理可得DG=CG，而DG=GF，可得GF=GC．从而可得∠F=∠1+∠2．可得∠DEC+∠F=180°，即可证明．
（Ⅱ）延长GE交AB于H．由GD=GC=GF，可得点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．可得GE=GC，∠GCE=∠GEC．又∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，可得∠AEH+∠1=90°，进而得出证明．

解答：解：（Ⅰ）如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，
∴四点O，D，G，C共圆．
设∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，
∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．
∴∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．
∵DG=GF，DG=CG．
∴GF=GC．
∴∠GCF=∠F．
∵∠DGC=2∠F，∴∠F=∠1+∠2．
又∵∠DEC=∠AEB=180°-（∠1+∠2），
∴∠DEC+∠F=180°，
∴D，E，C，F四点共圆．
（Ⅱ）延长GE交AB于H．
∵GD=GC=GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．
∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC．
又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，
∴∠GEC+∠3=90°，∴∠AEH+∠1=90°，
∴∠EHA=90°，即GE⊥AB．

点评：本题综合考查了四点共圆的判定与性质、切线长定理、圆的切线的性质、互余角之间的关系、垂直的判定等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．