Question

在（1+2x）ⁿ的展开式中，前三项的系数和为201．
（1）求展开式中第几项的二项式系数最大？
（2）求展开式中第几项的系数最大？

Answer 1

分析：（1）由题意可得前三项的系数和 1+2C_n¹+4C_n²=201，解方程求得n 的值．
（2）设第r+1项的系数最大，则有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

，利用二项式系数的性质及组合数公式求出r的值．

解答：解：（1）由1+2C_n¹+4C_n²=201，得n=10．…（3分）
∴展开式中第6项的二项式系数最大．…（4分）
（2）设第r+1项的系数最大，则有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

．…（8分）
解得

19

3

≤r≤

22

3

，…（10分）∴r=7．
∴展开式中第8项的系数最大．…（12分）

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．