Question

已知命题ax²+ax-2=0在[-1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：对方程a²x²+ax-2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[-1，1]上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x²+2ax+2a≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．

解答：解：由题意a≠0．
若p正确，a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解为

1

a

或-

2

a

…（3分）
若方程在[-1，1]上有解，只需满足|

1

a

|≤1或|-

2

a

|≤1
∴a≥1或a≤-1…（5分）
即a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）…（7分）
若q正确，即只有一个实数x满足x²+2ax+2a≤0，
则有△=4a²-8a=0，即a=0或2                        …（9分）
若p或q是假命题，则p和q都是假命题，…（11分）
有

-1＜a＜1 a≠0且a≠2

所以a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）…（14分）

点评：本题考查命题真假的判断，利用因式分解求出方程的根是解决本题的关键，再根据一元二次不等式与二次方程的关系转化相应的不等式问题，考查学生的等价转化思想，考查学生对复合命题真假的判断准则．