Question

已知A（-1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，则|AC|+|BC|=（　　）

A．6

B．4

C．2

D．与x，y取值有关

Answer 1

分析：将点C（x，y）满足的方程两边平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：

x2

4

 +

y2

3

=1．可得点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．可知点A、B恰好此椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=
2a=4．因此得到正确选项．

解答：解：∵点C（x，y）满足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
∴两边平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：3x²+4y²=12．
∴点C（x，y）满足的方程可化为：

x2

4

 +

y2

3

=1．
所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．
因此该椭圆的焦点坐标为A（-1，0），B（1，0），
根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．
故选B

点评：本题给出一个含有根式和绝对值的方程，将其化简得到圆锥曲线的标准方程，从而得到距离和为定值．着重考查了椭圆的定义和曲线与方程的知识，属于基础题．