Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（1）求a_n和b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，由S₁₀=10×1+

10×9d

2

=55可求得d=1，又a₁=1，从而可求a_n，同理可求得b_n；
（2）由（1）得a_n•b_n=n•2^n-1，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，依题意得S₁₀=10×1+

10×9d

2

=55，（2分）
解得d=1，又a₁=1，
所以a_n=n．（4分）
设数列{b_n}的公比为q，∵b₁=1，b₄=8，依题意得b₄=b₁q³=q³=8，（5分）
解得q=2，所以b_n=2^n-1．（7分）
（2）由（1）得a_n•b_n=n•2^n-1，（8分）
所以T_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①，（9分）
2T_n=2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②，（10分）
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，（12分）
故T_n=（n-1）•2ⁿ+1．（13分）

点评：本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，突出考查错位相减法的应用，属于中档题．