Question

设全集U=[-1，1]，函数f(x)=

1

sin2x+1

(x∈R)的值域为A，g(x)=

sinx

sinx+2

(x∈R)的值域为B，求（C_UA）∩（C_UB）．

Answer 1

分析：先根据分式函数的单调性求出集合A以及利用函数的有界性求出集合B，然后分别求出它们的补集，最后根据集合交集的定义进行求解即可．

解答：解：∵0≤sin²x≤1，∴1≤sin²x+1≤2，∴

1

2

≤y≤1，
∴A=[

1

2

，1]，而U=[-1，1]，∴C_UA=[-1，

1

2

）；
由g(x)=

sinx

sinx+2

，得y=

sinx

sinx+2

，于是sinx=

2y

1-y

，
∴-1≤sinx≤1，∴-1≤

2y

y-1

≤1，解得-1≤y≤

1

3

{x|x≠2k+

1

3

，k∈Z}，
∴B={y|-1≤y≤

1

3

}．而U=[-1，1]，∴C_UB=（，

1

3

，1]；
∴（C_UA）∩（C_UB）=（

1

3

，

1

2

）．

点评：本题主要考查了复合函数的值域，以及集合的一些基本运算，培养学生的计算能力，属于基础题．