Question

已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=-1，不等式组的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的图象并根据图象讨论关于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3），由f（2）=-1，求得a 的值，即得f（x）的解析式．x＜0时，则有-x＞0，利用奇函数的性质求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式．
（2）作出f（x）的图象，方程f（x）-c=0得根的个数即直线y=c和y=f（x）的图象交点个数，数形结合得出结论．
解答：解：（1）由题意得当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x²-4x+3．
当x＜0时，则有-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即：f（x）=-x²-4x-3．
当x=0时，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．
所以，．…（5分）
（2）作图（如图所示）：
  …（8分）
由f（x）-c=0得：c=f（x），在上图中作y=c，根据直线y=c和y=f（x）的图象交点个数讨论方程的根：
当c≥3或c≤-3，方程有1个根．
当1＜c＜3或-3＜c＜-1，方程有2个根．
当c=-1或c=1，方程有3个根．
当0＜c＜1或-1＜c＜0，方程有4个根．
当 c=0，方程有5个根．…（10分）
点评：本题主要考查方程的根的个数判断方法、函数的奇偶性的应用以及二次函数的性质，体现了数形结合的数学思想，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．