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有一块形状为直角梯形材料ABCD，其尺寸如图所示（单位：分米），现从中截取一块矩形材料EBFP，点P在CD上，设FP=x
（1）用x表示EP的长度l
（2）设矩形EBFP的面积为y，求y关于X的函数解析式
（3）当x为何值时，矩形EBFP的面积最大，最大面积为多少？

解：（1）加一条辅助线从D垂直往下，交BC与点M，
PF∥DM，则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
解得FC= $\text{[math]}$
∴EP=5- $\text{[math]}$
（2）设矩形EBFP的面积为y，
则y=（5- $\text{[math]}$ ）x x∈（0，3）
（3）y=（5- $\text{[math]}$ ）x x∈（0，3）
=5x- $\text{[math]}$
开口向下的二次函数在对称轴x= $\text{[math]}$ 时取最大面积 $\text{[math]}$
分析：（1）从D垂直往下，交BC与点M，PF∥DM，根据 $\text{[math]}$ 可求出CF，从而求出EP；
（2）直接利用矩形的面积公式，矩形的面积=长×宽进行求解即可；
（3）根据开口向下二次函数在对称轴处取最大值，从而求出所求．
点评：本题主要考查了三角形相似，以及二次函数求最值，考查了函数模型的选择与应用，属于基础题．

练习册系列答案

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD的形状，使得A，B，C，D都落在抛物线上，点A，B关于抛物线的对称轴对称且AB=4，抛物线的顶点到底边AB的距离是4，记CD=2t，梯形面积为S．以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求出钢板轮廓所在抛物线的方程；
（2）求面积S关于t的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积S的最大值．