Question

设F₁、F₂为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于PQ两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求四边形PF₁QF₂面积最大时，的值，根据图形的几何性质得到该四边形是平行四边形．
此四边形可以成两个全等三角形的组合图形，，当θ取最大值时四边形PF₁QF₂面积最大，易得当点P、Q分别在上下顶点时符合要求．于是cosθ，即可得到结果．
解答：解：因为四边形是平行四边形，
所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则；
当θ取最大值时四边形PF₁QF₂面积最大，sinθ=
即当点P、Q分别在上下顶点时，θ取最大值，四边形PF₁QF₂面积最大，
令椭圆的实半轴为a=5，虚半轴为b=4，焦半径为c
此时，cosα=a²=25×=7．
故答案为7．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，同时还考查与椭圆相关的知识．