Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

2n

Sn

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2），化简已知等式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，从而数列{

1

Sn

}构成公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式加以计算，即可得到S_n的表达式；
（2）由（1）的结论，得到bn=(2n-1)•2n，因此利用错位相减法并结合等比数列的求和公式，化简整理后可得

Tn=(2n-3)•2n+1+6

．

解答：解　（1）∵S_n²=a_n(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1•S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

；
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)•2n
因此，

Tn=1×2+3×22+5×23+…(2n-1)2n

两边都乘以2，得

2Tn= 1×22+3×23+…(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

两式相减，得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-

（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化简得

Tn=(2n-3)•2n+1+6

．

点评：本题给出数列的前n项和与第n项之间的关系式，求数列的前n项和表达式，并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了利用错位相减法求等差、等比数列对应项的积构成数列的前n项和的知识，属于中档题．