Question

已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数．如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A．

Answer 1

分析：先设出三边长以及三个角的度数，结合正弦定理以及余弦定理求出关于边长的等式，即可求出结论．

解答：（本题满分12分）
解：依题意，不妨设a=n-1，b=n，c=n+1，对应的三个内角是α，π-3α，2α
由正弦定理，

n-1

sinα

=

n+1

sin2α

…（4分）
所以cosα=

n+1

2(n-1)

…（6分）
由余弦定理，（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）ncosα…（8分）
即(n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•

n+1

2(n-1)

化简，得：n²-5n=0
所以，n=0，或n=5，n=0不合题意，舍去．
n=5，三角形的三边长为4，5，6．…（10分）
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍． …（11分）
故：A={4，5，6}                           …（12分）

点评：本题主要考察正弦定理在解三角形中的应用问题．解决本题的关键在于根据条件得到(n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•

n+1

2(n-1)

化简，得：n²-5n=0，进而求出结论．