Question

已知函数

(I)若直线l₁交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l₁平行的直线与函数的图象切于点R,求证 P,R,Q三点的横坐标成等差数列;

(II)若不等式恒成立,求实数a的取值范围；

(III)求证:〔其中, e为自然对数的底数）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），设切点R(x₀，y₀)

则．

令l₂：y=(-4x₀+4)x+b．

联立  消去y得 2x²-4x₀x+b=0．

令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁+x₂=2x₀，

即R、R、Q三点的横坐标成等差数列．  ……………………………………4分

（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，

令F(x)=2x²-alnx(x>0)，

则.

由，得.

当0<x<时，F(x)在区间(0，)上递减；

当时，，F(x)在区间(，+∞)上递增．

∴ ≥0，得0<a≤4e．……………………………9分

（Ⅲ）由（2）知当a=2e时有2x²-2elnx≥0，得≤

∴

≤

<

=

<．

【解析】略