Question

9．在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=1，AB=2（如图①），将△ADC沿AC折起，使D到D′，构成三棱锥D′-ABC，如图②所示．
（1）若BD′=$\sqrt{3}$，求证：面ACD′⊥面BCD′；
（2）若二面角D′-AC-B为60°，求三棱锥D′-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AD′⊥BD′，AD′⊥D′C，从而AD′⊥面BCD′，由此能证明面ACD′⊥面BCD′．
（2）取AC中点O，连结D′O，取AB中点E，连结EO，D′E，取OE的中点F，连结D′F，则D′F⊥平面ABC，由此能求出三棱锥D′-ABC的体积．

解答 解：（1）证明：∵AD'=CD=1，AB=2，BD′=$\sqrt{3}$，
∴AD^'2+BD^'2=AB²，∴AD′⊥BD′，
又AD′⊥D′C，且CD′∩BD′=D′，
∴AD′⊥面BCD′，
∵AD′?面ACD′，∴面ACD′⊥面BCD′．
（2）取AC中点O，连结D′O，取AB中点E，连结EO，D′E，
∴∠D′OE=60°，
∵D′O=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△D′OE为等边三角形，
取OE的中点F，连结D′F，则D′F⊥OE，D′F⊥AC，
∴D′F⊥平面ABC，
∵D′F=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1，
∴三棱锥D′-ABC的体积：
V=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}•{D}^{'}F$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．