Question

12、设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，则f（-2004.5）=

0.5

．

Answer 1

分析：由f（x+1）+f（x）=1推出函数的周期是2，利用周期性对f（-2004.5）化简，代入已知的解析式求值即可．

解答：解：由已知f（x+1）+f（x）=1在R上恒成立，故有f（x-1）+f（x）=1，两式相减得f（x+1）-f（x-1）=0，即f（x+1）=f（x-1）恒成立，故函数的周期是2
∴f（-2004.5）=f（-0.5）=f（1.5）
又当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，
∴f（1.5）=2-1.5=0.5
故答案为：0.5

点评：本题考查的周期性，由恒等式得函数函数的周期是2是求解本题的关键，此需要理解恒等式的意义．