Question

（08年哈六中）已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.

（Ⅰ）求PC与平面PBD所成的角；

（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离；

（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？

若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接PO。

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。

∵BD∩PD=D，  ∴AC⊥平面PBD。

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。

∵PD=AD=2，则OC=，PC=2。

在Rt△POC中，∠POC=90°，

∴

∴PC与平面PBD所成的角为30° …………4分

（Ⅱ）过D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD，

DF平面PBD， ∴AC⊥DF。

又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。

在Rt△PDO中，∠PDO=90°，

∴PO?DF=PD?DO。

∴  …………8分

（Ⅲ）假设存在E点，使PC⊥平面ADE.

过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M，

连接AE、AM.

由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.    ∵PC∥EM，∴AD⊥EM.

要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE.    即使EM⊥AE.

设BM=，则EM=，EB=； 

在△AEB中由余弦定理得AE²=4+3－4

在Rt△ABM中，∠ABM=90°.  ∴AM²=4+.

∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2.  ∴－=0. ∵，∴=1.

∴E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.  …………12分