Question

假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底：
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年新建住房面积（以2004年为第一年）首次超过800万平方米？（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）设中低价房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，求出前n项和S_n，使得S_n≥4750，解之即可求出所求；
（2）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，求出其通项公式b_n，使得b_n＞800，解之即可．

解答：解：（1）设中低价房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，
其中a₁=250，d=50，则S_n=250n+

n(n-1)

2

×50=25n²+225n，
令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10．
答：到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．…（6分）
（2）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，
其中b₁=400，q=1.08，则b_n=400•（1.08）^n-1
由题意可知400•（1.08）^n-1＞800
（1.08）^n-1＞2，两边取常用对数，解得n＞10.04．
答：到2014年底，该市当年新建住房面积首次超过800万平方米．…（12分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及等差数列前n项和与等比数列的通项公式，同时考查了计算能力，属于中档题．