Question

（2012•石家庄一模）设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

= 1的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF₂|=|₁FF₂|，F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  4

• B．

  5

  3

• C．

  4

  3

• D．

  1+ 7

  3

Answer 1

分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，即可得到答案．

解答：解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，由勾股定理知：
可知|PF₁|=2

4c2-4a2

=4b；
根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得

b

a

=

4

3

．
∴该双曲线的离心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=

1+( 4 3 )  2 a

a

=

5

3

．
故选：B．

点评：本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．