Question

设函数f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：将函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）根据x为R，利用正弦函数的值域确定出函数的最大值，得到M的值；找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，确定出T；
（2）由求出的M及f（x）解析式，根据f（x_i）=M，利用正弦函数的图象与性质列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，再由0＜x_i＜10π，确定出k的取值，列举出所求式子的各项，计算后即可求出值．

解答：解：依题意得：f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）∵x∈R，∴f（x）_max=M=2，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由f（x_i）=M=2得：2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x_i=kπ+

π

6

，k∈Z，
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，2，…，9，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+…+9）π+10×

π

6

=

140

3

π．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．