Question

15．已知二次函数f（x）=ax²-x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$的最小值为8．

Answer 1

分析 先判断a、c是正数，且ac=$\frac{1}{4}$，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²-x+c的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4ac=0}\end{array}\right.$，
解得a＞0，c＞0，ac=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{2}{c}}$=8，当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$的最小值为8，
故答案为：8

点评 本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题．