Question

求证：四面体若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　先写已知、求证，要证相对棱垂直，即异面垂直，一般先证线面垂直，或用三垂线定理(或逆定理)，故作VO⊥平面ABC是关键． 　　已知：VA⊥BC，VB⊥AC，求证：VC⊥AB． 　　解答　　作VO⊥平面ABC于O，连结AO，BO，CO． 　　∵VO⊥平面ABC．∴AO，BO，CO分别为VA，VB，VC在平面ABC上的射影， 　　又∵VA⊥BC，VB⊥AC，∴AO⊥BC，BO⊥AC， 　　∴O为△ABC的垂心，从而OC⊥AB， 　　根据三垂线定理，VC⊥AB． 　　评析　　由本题知，若三棱锥有两组对棱互相垂直，则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，实际上，此四面体任一顶点在它对面上的射影均为该面三角形的垂心．类似的结论还有：①若三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心；②若顶点到底面三角形三条边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心或旁心；③若侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心；④若侧面与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心．