Question

已知M（-5，0），N（5，0），给出下列直线的方程：①5x-3y=0；②5x-3y-52=0；③x-y-4=0；④4x-3y+15=0，在直线上存在点P满足|MP|=|PN|+6的直线方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：由M（-5，0），N（5，0），点P满足|MP|=|PN|+6，知点P的轨迹是双曲线：．把①5x-3y=0代入双曲线方程，得-9y²=400，无解．方程：①5x-3y=0上不存在点P满足|MP|=|PN|+6；把②5x-3y-52=0代入双曲线方程，得9x²-520x+2848=0，△＞0，直线方程②5x-3y-52=0上存在点P满足|MP|=|PN|+6．把③x-y-4=0代入双曲线方程，得7x²+8x-288=0，△＞0，直线方程③x-y-4=0上存在点P满足|MP|=|PN|+6．④4x-3y+15=0同样可得结论．
解答：解：∵M（-5，0），N（5，0），点P满足|MP|=|PN|+6，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长2a=6的双曲线，
这个双曲线的方程为：．
把①5x-3y=0代入双曲线方程，得-9y²=400，无解．
∴方程：①5x-3y=0上不存在点P满足|MP|=|PN|+6；
把②5x-3y-52=0代入双曲线方程，得 ，
整理，得9x²-520x+2848=0，
∵△=270400-36×2848=167872＞0，
∴直线方程②5x-3y-52=0上存在点P满足|MP|=|PN|+6．
把③x-y-4=0代入双曲线方程，得 ，
整理，得7x²+8x-288=0，
∵△=64+28×288=8128＞0，
∴直线方程③x-y-4=0上存在点P满足|MP|=|PN|+6．
同样地，④在直线4x-3y+15=0上不存在点P满足|MP|=|PN|+6．
故答案为：②③．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线的知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．