Question

【题目】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点，且点在平面的同侧.

（1）求证:；

（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）要证明，只需证明即可；

（2），利用基本不等式知当时有最大值，再将多面体的体积分割成与之和即可.

（1）证明:设圆的半径分别为

因为圆台的侧面积为，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如图，连接线段，

在圆台中，平面平面，

所以.又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）解:由题意可知，三棱锥的体积为.

又在直角三角形中，

所以当且仅当，

即点为弧的中点时，有最大值

过点作交于点，

因为平面，平面，

所以，平面

平面，，

所以平面.

又，则点到平面的距离

所以四棱锥的体积

综上，当三棱锥体积取最大值时，

多面体的体积