Question

6．在△ABC中，已知三角形的周长是16，且已知B点与C点的坐标为B（-3，0）、C（3，0）．
（1）求A点的轨迹C的方程；
（2）已知直线y=kx-5与轨迹C的图象相交，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立如图所示坐标系，由题意可得AB+AC=10＞BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点A的轨迹方程．
（2）直线y=kx-5与轨迹C联立，利用判别式大于0，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）∵B点与C点的坐标为B（-3，0）、C（3，0），且△ABC的周长等于16，
∴AB+AC=10＞BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，
∴2a=10，c=3，
∴b=4，故顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≠0）．
（2）直线y=kx-5与轨迹C联立，可得（16+25k²）x²-250kx+225=0，
∴△=62500k²-4×225×（16+25k²）＞0，
∴k＜-$\frac{3}{5}$或k＞$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，注意轨迹方程中y≠0，这是解题的易错点．属于中档题．