Question

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

由题意知a₁=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1
即an+1=ban+2n①
（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)
又a1-1•2n-1=1≠0，所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
故知，bn=2n-1，
再由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)2n-1．
（2）当b≠2时，由①得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)
若b=0，Sn=2n
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2
若b≠0、1，数列{an-

1

2-b

•2n}是以

2(1-b)

2-b

为首项，以b为公比的等比数列，
故an-

1

2-b

•2n=

2(1-b)

2-b

•bn-1，an=

1

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]Sn=

1

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b1+b2+…+bn-1)，
Sn=

2(2n-bn)

2-b

b=1时，Sn=2n+1-2符合上式
所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b

当b=0时，Sn=2n
另
当n=1时，S₁=a₁=2
当n≥2时，∵ban-2n=(b-1)Sn∴b(Sn-Sn-1)-2n=(b-1)Sn
∴Sn=bSn-1+2n
若b=0，Sn=2n
若b≠0，两边同除以2ⁿ得

Sn

2n

=

b

2

•

Sn-1

2n-1

+1
令

Sn

2n

+m=

b

2

•

Sn-1

2n-1

+1+m，即

Sn

2n

+m=

b

2

•(

Sn-1

2n-1

+

2+2m

b

)
由m=

2+2m

b

得m=

2

b-2

∴{

Sn

2n

+

2

b-2

}是以

b

b-2

为首项，

b

2

为公比的等比数列
∴

Sn

2n

+

2

b-2

=

b

b-2

•(

b

2

)n-1，
所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b