Question

7．已知f（x）为偶函数，f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，则f（2011）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用f（x）为偶函数以及f（2+x）=f（2-x），求出函数的周期为4；由周期为4可得f（2011）=f（-1+4×503）=f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，即可得答案．

解答 解：根据题意，∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）=f（4-x），
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x）
∴f（-x）=f（4-x）．即函数的周期T=4．
则f（2011）=f（-1+4×503）=f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，
即f（2011）=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，涉及抽象函数的应用，关键是求出函数的周期．