Question

△ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，，，已知．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若abx=a+b，试确定实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，∴，∴acosA-bcosB=0．
由正弦定理知，，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B，．，，
∴．
∴sinA+sinB的取值范围为．
（2）∵abx=a+b，∴sinA•sinB•x=sinA+sinB
∴．
令，
∴．
∵在单调递增，∴，
∴，故x的取值范围为．
分析：（1）通过推出acosA-bcosB=0，结合正弦定理化简此式，推出A，B的关系，然后求sinA+sinB的取值范围；
（2）利用abx=a+b，结合正弦定理，推出x的表达式，利用换元法，结合函数的单调性，试确定实数x的取值范围．
点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数的最值，注意换元法的应用，函数的单调性是求最值的一种方法，考查计算能力，转化思想．