Question

如图所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．

(1)求证：B₁C∥平面AC₁M；
(2)求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

Answer 1

(1)由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
连结A₁C，设A₁C∩AC₁＝O，连结MO，
由题意可知，得到MO∥B₁C，进一步得到B₁C∥平面AC₁M.
(2)利用已知得到C₁M⊥A₁B₁，
根据平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
得到C₁M⊥平面AA₁B₁B，达到证明目的：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

试题分析：
思路分析：首先，由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形。（1）小题，为证明B₁C∥平面AC₁M，只需证明B₁C平行于平面AC₁M内的任一直线，发现、构造这样的一条直线是关键。通过连结A₁C，并设A₁C∩AC₁＝O，则MO即为这样的直线。
（2）小题，为证明“面面垂直”，须注明“线面垂直”。由等腰三角形底边的中线，发现垂直关系。
证明：(1)由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
连结A₁C，设A₁C∩AC₁＝O，连结MO，
由题意可知，A₁O＝CO，A₁M＝B₁M，
∴MO∥B₁C，
又MO?平面AC₁M，
B₁C?平面AC₁M，∴B₁C∥平面AC₁M.
(2)∵A₁C₁＝B₁C₁，M为A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，
又平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B＝A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，又，所以，平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相等”，确定数据。认识几何体的几何特征，是解题的关键之一。