Question

已知f（e^x+e^-x）=e^2x+e^-2x-2，则函数f（x）的值域是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：换元：令e^x+e^-x=t，可得e^2x+e^-2x-2=（e^x+e^-x）²-4=t²-4，从而得出函数的表达式：f（t）=t²-4，再用基本不等式：
a+b＞2

ab

，求出t的取值范围，即得函数的定义域，最后求二次函数在区间[2，+∞）值域，可得答案．

解答：解：令e^x+e^-x=t，则（e^x+e^-x）²=e^2x+2+e^-2x
可得：e^2x+e^-2x-2=（e^x+e^-x）²-4=t²-4
所以原函数化为f（t）=t²-4
又∵t=e^x+e^-x≥2

ex•e-x

=2
∴函数的表达式为：f（x）=x²-4，其中x≥2
∵x²≥4
∴f（x）=x²-4≥4-4=0，函数的值域是[0，+∞）
故答案为：[0，+∞）

点评：本题考查了函数的解析式的求法、函数的值域等知识点，属于中档题．采用换元法求解析式是解决本题的关键，解题的同时还要注意函数定义域问题．