Question

 

（本小题满分13分）

已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；

（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件得，

∴解得.                  ……………… ……………分

（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

 故可设直线的方程为  ，， 由

消去并整理得 ，∴ . ∵，得…5分

∴过抛物线上、两点的切线方程分别是，

 ，即  ， ，解得两条切线、的交点的坐标为，即，……分

∴∴. ………8分

（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.

令得，， 解得或  ，     ………10分

故不妨取，即直线过点.综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、     （、为切点），能使直线过点.

 此时，两切线的方程分别为和.              …………11分

 .     …………13分

 

【解析】略