Question

已知函数．
（I）若关于x的不等式f（x）≤m恒成立，求实数m的最小值：
（II）对任意的x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，己知存在．x₀∈（x₁，x₂）使得
求证：．

Answer 1

（I）解：函数的定义域为（0，+∞）．
由，解得x=e．
当x∈（0，e）时，f^′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，f^′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为．
∵关于x的不等式f（x）≤m恒成立，∴f_max（x）≤m
∴，即m的最小值为；
（II）证明：∵对任意的x₁，x₂∈（0，2），若存在x₀∈（x₁，x₂）使得，
即．
∴．
令，则有F（x₀）=0
∴，
当x∈（0，2）时，2lnx-3＜2ln2-3＜0，又有x₂＞x₁＞0，
∴F^′（x）＜0，即F（x）在（0，2）上是减函数．
又∵
=
=
令，∴
设，∴．
设k（t）=t-tlnt-1，
∴k^′（t）=-lnt＜0（t＞1），∴k（t）在（1，+∞）是减函数，∴k（t）＜k（1）=0．
∴h^′（t）＜0，∴h（t）在（1，+∞）是减函数，∴h（t）＜h（1）=0．
∴．
∵F（x）在（0，2）上是减函数，∴．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，然后利用导数判断出极值点，求出函数的极值，也就是最值，则m的范围可求；
（Ⅱ）求出函数在x₀处的导数，代入，整理后得到，引入辅助函数，求导后得到其在（0，2）上的单调性，然后把代入函数解析式，利用单调性得到F（）与F（x₀）的大小关系，从而得到要证明的结论．
点评：本题考查了导数在最值中的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了换元法和数学转化思想，解答此题的关键是两次构造辅助函数，是较难的题目．