Question

已知函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x-cos²x+2

3

sinx•cosx
（1）求函数f（x）的单调减区间；       
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最值；
（3）若f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式．
（1）通过正弦函数的单调减区间求函数f（x）的单调减区间；       
（2）通过x∈[0，

π

2

]，求出相位的范围，然后求f（x）的最值；
（3）利用f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求出cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，利用sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]，求解它的值

解答：解：f（x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x+

3

sin2x        …（2分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）                            …（3分）
（1）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ          …（5分）
∴f（x）的减区间是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）                    …（6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（7分）
∴当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）_min=-

1

2

，…（8分）
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）_max=1                      …（9分）
（3）f（α）=sin（2α-

π

6

）=

1

7

，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜

π

2

+2kπ
∴2kπ-

π

6

＜2α-

π

6

＜

π

3

+2kπ，∴cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，…（11分）
∴sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）•cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）•sin

π

6

   …（12分）
=

1

7

×

3

2

+

4 3

7

×

1

2

=

5 3

14

                              …（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用三角函数的单调性与最值的求法，考查转化思想与计算能力．