Question

已知双曲线C：（a>b>0）和圆O：x²+y²=b²（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x₀，y₀）引圆O的两条切线，切点分别为A，B。
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值。

Answer 1

解：（1）因为a>b>0， 所以 所以 由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形， 所以 因为 所以 所以 故双曲线离心率e的取值范围为。 （2）因为 所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为   因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB， 所以联立方程组 消去x2，y2，即得直线AB的方程为x0x+y0y=b2。
（3）由（2）知，直线AB的方程为x0x+y0y=b2， 所以点O到直线AB的距离为 因为  所以三角形OAB的面积 因为点P（x0，y0）在双曲线上， 所以， 即 设 所以 因为S' 所以当0＜t＜b时，S'>0，当t>b时，S'＜0 所以 在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减， 当，即时， S最大值= 当，即时， S最大值= 综上可知，当，S最大值= 当时，S最大值=。