Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π。
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）

（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE。
又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE。                                （3分）
因为AF平面ADE，所以BE⊥AF。
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD。                                （6分）
（Ⅱ）过点E作EO⊥AB，垂足为O。

因为平面ABE⊥平面ABCD，所以EO⊥面ABCD。
连结OD，则∠ODE为直线DE与平面ABCD所成的角。                          （8分）
设圆柱的底半径为r，则其底面积为，
△ABE的面积为。
由已知，，则OE＝r，所以点O为圆柱底面圆的圆心。                 （10分）
在Rt△OAD中，，在Rt△DOE中 。
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值为。                                （12分）