Question

19．已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b得y²+4y-4b=0，利用|AB|=8，即可求b的值；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求出M的坐标，即可求该圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b得y²+4y-4b=0-----（2分）
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{16+16b}$=$\sqrt{32（b+1）}$=8------------（5分）
解得b=1----------（7分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M
|AB|=|y₁+y₂|又y₁+y₂=-4----------（9分）
∴4=$\sqrt{32（b+1）}$解得b=-$\frac{1}{2}$，则M（$\frac{3}{2}$，-2）---------（12分）
∴圆方程为（x-$\frac{3}{2}$）²+（y+2）²=4---------（14分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．