Question

已知圆C过两点M（2，2），N（1，3），且圆心C在直线3x-y-3=0上，点A（3，5）
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A的圆C的切线方程；
（3）O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由题意可求MN的垂直平分线得方程，联立已知直线可得圆心C的坐标，由距离公式可得MC，即圆的比较，由圆的标准方程可得；
（2）设直线方程为y-5=k（x-3），由圆心到直线的距离等于半径可得k值，可得直线，验证直线无斜率的情形可得；
（3）由距离公式可得|AO|，可得点C到直线OA的距离d，代入面积公式可得．

解答：解：（1）由中点坐标公式可得MN的中点为（

3

2

，

5

2

），
MN的斜率为

2-3

2-1

=-1，∴MN的垂直平分线的斜率为1，
故MN的垂直平分线为y-

5

2

=x-

3

2

，即y=x+1，
联立

3x-y-3=0 y=x+1

解得x=2，y=3，即圆心C（2，3），
由距离公式可得MC²=（2-2）²+（3-2）²=1，
∴圆C的方程为：（x-2）²+（y-3）²=1
（2）当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x=3，
圆心C（2，3）到直线的距离为1，满足条件．
当斜率存在时，设直线方程为y-5=k（x-3），即kx-y+5-3k=0，
由直线与圆相切得

|-k+2|

k2+1

=1，∴k=

3

4

．
∴直线方程为x=3或y=

3

4

x+

11

4

，即x=3，或3x-4y+11=0
（3）由距离公式可得|AO|=

9+25

=

34

，
直线OA的方程为5x-3y=0，
∴点C到直线OA的距离d=

1

34

，
∴△AOC的面积S=

1

2

d|AO|=

1

2

点评：本题考查圆的方程的求解以及圆的切线方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．