Question

函数y=x+

a

x

(x＞0)有如下性质：若常数a＞0，则函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．已知函数f(x)=x+

m

x

（m∈R为常数），当x∈（0，+∞）时，若对任意x∈N，都有f（x）≥f（4），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得f（4）是函数的最小值，则f（3）≥f（4）且f（5）≥f（4），由此得m的不等式组，解出即可．

解答：解：由函数y=x+

a

x

(x＞0)的性质可知，若对任意x∈N，都有f（x）≥f（4），
则f（4）是函数的最小值，
即

f(3)≥f(4) f(5)≥f(4)

，
∴

3+ m 3 ≥4+ m 4 5+ m 5 ≥4+ m 4

，
即

m 3 - m 4 ≥1 m 4 - m 5 ≤1

，
∴

m≥12 m≤20

，
解得12≤m≤20，
故答案为：[12，20]．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，正确理解函数f（x）的性质是解决本题的关键．