Question

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

2

3

和

3

4

．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；击中目标的概率分别是

2

3

和

3

4

，射击4次，相当于4次独立重复试验，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个事件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示最后两次射击一定没有射中，前两次最多一次没击中，这几个事件之间是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．

解答：解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A₁，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-(

2

3

)4=

65

81

．
即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为

65

81

；
（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A₂，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B₂，
P（A₂）=

C

2 4

(

2

3

)2(1-

2

3

)4-2=

8

27

，
P（B₂）=

C

3 4

(

3

4

)3(1-

3

4

)4-3=

27

64

．
由于甲、乙设计相互独立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=

8

27

•

27

64

=

1

8

．
即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为

1

8

；
（3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A₃，
“乙第i次射击为击中”为事件D_i，（i=1，2，3，4，5），
则A₃=D₅D₄

.

D3

（

.

D2

.

D1

），且P（D_i）=

1

4

，
由于各事件相互独立，
故P（A₃）=P（D₅）P（D₄）P（

.

D3

）P（

.

D2

.

D1

）=

1

4

×

1

4

×

3

4

×（1-

1

4

×

1

4

）=

45

1024

，
即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是

45

1024

．

点评：本题考查排列组合问题的实际应用，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，可以作为解答题出现在试卷上．