Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{5}+2t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ+4=0．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点A（0，$\sqrt{5}$），直线l与曲线C相交于点M、N，求$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线C的直角坐标方程即可；（Ⅱ）将直线l的方程带入曲线C的方程，求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ²cos2θ+4=0．
∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+4=0，
∴x²-y²+4=0，
∴y²-x²=4；
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为标准形式为：
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{{\sqrt{5}}}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t.\end{array}\right.$ （t 为参数），
代入曲线C 的方程得$\frac{3}{5}{t^2}+4t+1=0$，
∴t₁+t₂=-$\frac{20}{3}$，t₁•t₂=$\frac{5}{3}$，
则$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|AN|}=\frac{1}{{|{t_1}|}}+\frac{1}{{|{t_2}|}}=|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}|=4$．

点评 本题考查了极坐标和直角坐标系的转化，考查参数方程以及一元二次方程根与系数的关系，是一道中档题．