Question

如图，线段EF的长度为1，端点E，F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E，F沿正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l-S的最大值为

5

4

π

．

Answer 1

分析：确定轨迹为G是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式、面积公式可得l-S的表达式，利用配方法可求最大值．

解答：解：在正方形的每个角上，G是半径为

1

2

的

1

4

圆，周长为：2π×0.5=π
设正方形边长为a（a＞1），则l=π+4a-4，S=a²-

π

4

∴l-S=-a²+4a-4+

5

4

π=-（a-2）²+

5

4

π
∴当a=2时，l-S的最大值为

5

4

π
故答案为：

5

4

π

点评：本题考查轨迹的确定，考查函数模型的构建，考查函数的最值，确定轨迹是关键．