Question

要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框总长度为l的条件下，
（1）请写出窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；
（2）要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？并写出最大值．

Answer 1

分析：（1）窗户的面积S由两部分组成，一部分是半圆，一部分是矩形，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；
（2）根据二次函数的性质可求出面积关于直径x的函数的最值，然后求出取最值时相应的x即可．

解答：解：（1）设半圆的直径为x，矩形的高度为y，
窗户透光面积为S，
则窗框总长l=

πx

2

+x+2y
∴y=

2l-(2+π)x

4

S=

π

8

x2 +xy=

π

8

x2+

2l-(2+π)x

4

•x
∴S=-

4+π

8

x²+

l

2

x  （0＜x＜

2l

π+2

）
（2）S=-

4+π

8

（x-

2l

4+π

）²+

l2

2(4+π)

当x=

2l

4+π

时，S_max=

l2

2(4+π)

此时，y=

l

4+π

=

x

2

…7分
答：窗户中的矩形高为

l

4+π

，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及圆的面积和二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．