Question

设函数，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则=，
∵x₁＜x₂，∴，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即，
解得：a=1．∴
（3）∵2^x+1＞1，∴，
∵，∴f（x）+a＞0可化为＞0，
即．故要使f（x）+a＞0恒成立，只须2a≥2，
即a≥1．
分析：（1）用单调性的定义来证明．
（2） f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）对所有x都成立求出a．
（3）f（x）+a＞0恒成立转化为恒成立，找的最大值即可．
点评：本题是一道难度中档的综合题，第三问是函数方面的恒成立问题，恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．