Question

已知sinx+cosx=-1，则sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．±1

Answer 1

【答案】分析：可利用辅助角公式将sinx+cosx化为：sinx+cosx=sin（x+）=-1，从而求得x=2kπ-π或x=2kπ-（k∈Z），分类讨论即可；也可以将sinx+cosx=-1两端平方，求得sinxcosx=0，分类讨论即可．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）=-1，
∴sin（x+）=-，
∴x+=2kπ-或x+=2kπ-，k∈Z．
∴x=2kπ-π或x=2kπ-．k∈Z
当x=2kπ-π，cosx=-1，sinx=0，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1；
当x=2kπ-，cosx=0，sinx=-1，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1．
综上所述，sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为-1．
故选C．
点评：本题考查三角函数的化简求值，关键在于利用辅助角公式，再结合正弦函数的图象与性质，通过分类讨论的思想解决，属于中档题．