Question

已知复数满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），z=

5

w

+|w-2|，求复数w、z并且写一个以z为根的实系数一元二次方程．

Answer 1

分析：根据所给的复数的表示式，整理出关于w和z的表示式，做两个复数的乘除运算和模长的运算，得到两个复数的代数形式，若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根

.

z

=3-i，根据一元二次方程根与系数的关系，写出方程．

解答：解：∵w（1+2i）=4+3i，
∴w=

4+3i

1+2i

=2-i，
∴z=

5

2-i

+|-i|=3+i．
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，
则必有共轭虚根

.

Z

=3-i，
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一个一元二次方程可以是x²-6x+10=0．

点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的模长运算，考查实系数一元二次方程的根与系数的关系，是一个综合题，也是一个易错题．