Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求线段MN的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知椭圆的一个顶点，离心率列出方程组，解得b的值，则椭圆C的标准方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N两点横坐标的和与积，代入弦长公式得答案．

解答 解：（1）∵椭圆一个顶点A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$b=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得3x²-4x-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{2}{3}$
∴$|MN|=\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-4×（-\frac{2}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．