Question

20．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程；直线l消去参数能求出直线l的普通方程．
（2）当m=2时，直线l为：$x-\sqrt{3}y$-2=0，曲线C：x²+y²-2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，求出圆心（1，0）到直线l的距离d，由勾股定理能求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程是x²+y²-2x=0．
∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得直线l的普通方程是x-$\sqrt{3}$y-m=0．
（2）当m=2时，直线l为：$x-\sqrt{3}y$-2=0，
∵直线l与曲线C交于A、B两点，
曲线C：x²+y²-2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆．
圆心（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．