Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，离心率e=

3

5

，三角形△BF₁F₂的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求该椭圆的标准方程．
（2）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a²=b²+c²，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；
（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k²）x²=400
如图，设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y₁=kx₁，y₂=kx₂，表示出四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂，最后利用基本不等式求其最大值即可．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c，
依题意有

a2=b2+c2 e= c a = 3 5 2a+2c=16

，解得

a=5 b=4 c=3

∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，（5分）
（2）解法一：由

y=kx x2 25 + y2 16 =1

消去y，得（16+25k²）x²=400
如图，设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，∴x1=-

20

16+25k2

，x2=

20

16+25k2

．①（8分）
∵直线AB的方程分别为

x

5

+

y

4

=1即4x+5y-20=0，
∴点E，F到AB的距离分别为h1=

|4x1+5kx1-20|

41

=

20(4+5k+ 16+25k2 )

41 16+25k2

，h2=

|4x2+5kx2-20|

41

=

20(4+5k- 16+25k2 )

41 16+25k2

（10分）
又|AB|=

52+42

=

41

，
所以四边形AEBF的面积为
S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

41

•

40(4+5k)

41 16+25k2

=

20(4+5k)

16+25k2

=20

16+25k2+40k 16+25k2

=20

1+ 40k 16+25k2

≤20

1+ 40k 2 16×25k2

=20

2

，
当且仅当16=25k²即k=

4

5

时，上式取等号．所以S的最大值为20

2

．（14分）
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．
设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且16

x

2 2

+25

y

2 2

=400
故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂（10分）=

(4x2+5y2)2

=

16 x 2 2 +25 y 2 2 +40x2y2

≤

2(16 x 2 2 +25 y 2 2 )

=20

2

，
当且仅当4x₂=5y₂时，上式取等号．所以S的最大值为20

2

．（14分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．