Question

3．已知△ABC中的三个顶点坐标分别为A（4，6），B（-2，0），C（0，-2），若圆x²+y²=r²上的所有点都在△ABC内（包括边界），则该圆的面积的最大值是（　　）

• A． 2π
• B． $\frac{4}{5}$π
• C． $\sqrt{2}$π
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{5}$π

Answer 1

分析 分别求出直线AB，BC，AC的方程，求得O到直线AB，BC，AC的距离，可得圆的最大半径，即可得到最大面积．

解答 解：直线AB的方程为y=x+2，
BC的方程为y=-x-2，AC的方程为y=2x-2，
由O到直线AB的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
O到直线BC的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
O到直线AC的距离为$\frac{2}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{2}$．
即有所求圆的最大半径为r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
故圆的面积的最大值是πr²=$\frac{4}{5}$π．
故选B．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的面积的最大值的求法，考查运算能力，属于中档题．